Тема III. Производная функции и ее приложения

Тема I. Всеохватывающие числа

, – действительная часть КЧ,

b – надуманная часть КЧ,

.

Степень надуманной единицы:

и - комплексно-сопряженные числа.

Деяния с КЧ в алгебраической форме:

и

1. ;

2. ;

3. ;

;

4. .

- модуль КЧ, .

- аргумент всеохватывающего числа, который рассчитывается зависимо от расположения КЧ.

I четверть: ;

II четверть: ;

III четверть: ;

IV четверть: .

Если числа размещены на координатных осях:

- тригонометрическая форма Тема III. Производная функции и ее приложения записи КЧ.

Формулы Эйлера:


- показательная форма КЧ.

Деяния над КЧ в показательной форме:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , k = 0, 1, 2,…, n – 1.


Пример 1. Отыскать модуль всеохватывающего числа и записать число в показательной форме и тригонометрической форме

.

Переведем все числа в показательную форму:

, т.к. , .

, т.к. , .

, т.к. ,

.

Выполним действие:

.

Ответ: , , .

Пример 2. Выполнить деяния в алгебраической форме Тема III. Производная функции и ее приложения, записать число в показательной форме

.

Используем формулу .

.

Найдем модуль и аргумент КЧ:

;

;

.

Ответ: .

Пример 3. Выполнить деяния в показательной форме, ответ записать в алгебраической форме.

, если , .

Переведем число в показательную форму:

, , .

Выполним деяния:

Ответ: 16.

Пример 4. Отыскать действительные числа х и у, если

.

Выполним деяния в левой и правой части равенства:

.

Используем условие Тема III. Производная функции и ее приложения равенства 2-ух всеохватывающих чисел:

Ответ: .

Задание 1.

1.1 Выполнить деяния в показательной форме, ответ записать в алгебраической форме:

1. ; Ответ: .

2. ; Ответ: .

3. ; Ответ: .

4. ; Ответ: .

5. , , ; Ответ: 2.

6. , , ; Ответ: .

7. ; Ответ: .

8. ; Ответ: .

9. ; Ответ: .

10. . Ответ: .

1.2 Отыскать модуль всеохватывающего числа и записать число в показательной форме:

1. ; Ответ: .

2. ; Ответ: .

3. ; Ответ: .

4. ; Ответ: .

5. ; Ответ: .

6. ; Ответ: .

7. ; Ответ: .

8. ; Ответ: .

9. ; Ответ: .

10. . Ответ: .

Тема II. Предел Тема III. Производная функции и ее приложения функции

Неизменная b именуется пределом функции при , если для хоть какого числа существует такое число , что при всех х удовлетворяющих условию

производится неравенство

.



Если с – неизменная величина, то:

1. .

Если функция и имеют пределы при , то:

2. ;

3. ;

4. , если .

Из формулы (3) следует, что:

5. , ;

6. ;

7. , ;

8. ;

9. Если существует и - простая функция, то .

Примеры

1. Отыскать

2. Отыскать

Правило 1. Чтоб раскрыть неопределенность , заданную Тема III. Производная функции и ее приложения относительно 2-ух многочленов, нужно разложить их на множители и уменьшить.

3. Отыскать

Правило 2. Чтоб раскрыть неопределенность , где находятся иррациональные выражения, нужно числитель и знаменатель дроби домножить на выражения, сопряженные иррациональным и уменьшить.

4. Отыскать , потому что при величины и - нескончаемо малые, и их пределы равны 0.

Правило 3. Если степени числителя и знаменателя Тема III. Производная функции и ее приложения равны, то разыскиваемый предел равен отношению старших коэффициентов членов дроби.

5. Отыскать .

Правило 4. Если степень числителя выше степени знаменателя, то при дробь не имеет конечного предела (предел нескончаемый).

6. Отыскать .

Правило 5. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то .

Чтоб раскрыть неопределенность необходимо числитель и знаменатель дроби поделить почленно на Тема III. Производная функции и ее приложения наивысшую степень переменной знаменателя.

7. Отыскать

Правило 6. При раскрытии неопределенности представить выражение в виде дроби, помножить и поделить на выражение, сопряженное иррациональному, дальше используя прошлые правила.

8. Отыскать

.

Имеет место соотношение, которое открывает неопределенность :


Число е – иррациональное ( ).

9. Отыскать , т.к. если .

10. Отыскать , т.к.

если .

11. Отыскать

; т.к. если , при , , .

При вычислении пределов Тема III. Производная функции и ее приложения тригонометрических функций нередко употребляется предел дела синуса дуги к самой дуге.


либо

12. Отыскать

13. Отыскать

14. Отыскать

.

15. Отыскать

16. Отыскать

(При , как следует - нескончаемо малая функция, пусть , тогда , . При , , , пусть , тогда , ).

Задание 2.

2.1 Отыскать предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя:

1. Ответ: .

2. Ответ: 0.

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ Тема III. Производная функции и ее приложения: .

12. Ответ: .

13. Ответ: 3.

14. Ответ: .

15. Ответ: .

16. Ответ: 4.

17. Ответ: .

18. Ответ: .

19. Ответ: 1,5.

20. Ответ: 0.

21. Ответ: .

22. Ответ: .

23. Ответ: 0.

24. Ответ: .

25. Ответ: .

26. Ответ: 6.

27. Ответ: .

28. Ответ: .

29. Ответ: 3.

30. Ответ: .

31. Ответ: .

32. Ответ: 1.

33. Ответ: 0.

34. Ответ: .

35. Ответ: .

36. Ответ: .

37. Ответ: 0.

38. Ответ: 0.

39. Ответ: .

40. Ответ: 4.

41. Ответ: .

42. Ответ: .

43. Ответ: .

44. Ответ: .

45. Ответ: .

46. Ответ: .

47. Ответ: .

48. Ответ: .

49. Ответ: .

50. Ответ: .

51. Ответ: .

52. Ответ: .

53. Ответ: .

54. Ответ: .

55. Ответ: .

56. Ответ: .

57. Ответ: 2.

58. Ответ: 8.

59. Ответ: .

60. Ответ: .

61. Ответ: 2.

62. Ответ: .

63. Ответ Тема III. Производная функции и ее приложения: .

64. Ответ: .

65. Ответ: 1.

66. Ответ: 0.

67. Ответ: .

68. Ответ: .

69. Ответ: 8.

70. Ответ: .

Тема III. Производная функции и ее приложения

Производная, ее геометрический и физический смысл.

Правила и формулы дифференцирования

Напомним, что приращением функции именуется разность

,

где - приращение аргумента x.


Из рисунка видно, что . (1)

Предел дела приращения функции к приращению аргумента при случайном стремлении к нулю именуется Тема III. Производная функции и ее приложения производной функции в точке х и обозначается одним из последующих знаков: , , .

Таким макаром, по определению

. (2)

Если обозначенный в формуле предел существует, то функцию именуют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной - дифференцированием.

Из равенств (1) и (2) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в Тема III. Производная функции и ее приложения точке , к графику функции .

С физической точки зрения производная определяет скорость конфигурации функции в точке х относительно аргумента х ( - моментальная скорость, - средняя скорость конфигурации функции).

Если с – неизменное число и , - некие дифференцируемые функции, то справедливы последующие правила дифференцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. , ;

7. ; ; ;

8. Если , , т.е. - непростая функция, то

либо .

На основании определения производной и Тема III. Производная функции и ее приложения правил дифференцирования можно составить таблицу производных функций:


1. ,

2. , , где

3. , ,

4. , ,

5. ,

6. ,

7. , ,

8. , ,

9. , ,

10. , ,

11.

12.

13. , ,

14. , ,

15. , ,

16. , ,

17. , ,

18. , ,


Уравнение касательной к кривой в точке :

.

Уравнение нормали к кривой в точке :

, .

При уравнение нормали имеет вид:

.

Углом меж кривыми в точке их скрещения именуют угол меж касательными к кривым в этой точке, который рассчитывается по формуле

.

Примеры

1. Отыскать производную функции .

Решение:

Ответ:

2. Отыскать производную функции Тема III. Производная функции и ее приложения .

Решение:

Упростим выражение:

Найдем производную функции:

Ответ:

3. Отыскать производную функции .

Решение:

Упростим выражение:

Найдем производную функции:

Ответ:

4. Записать уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение:

Для составления уравнений касательной и нормали найдем ординату точки М, через которую проходит касательная, и ее угловой коэффициент.

Найдем ординату Тема III. Производная функции и ее приложения точки касания, подставив в уравнение кривой значение :

; .

Вычислим угловые коэффициенты касательной и нормали:

;

.

.

Найдем уравнение касательной:

, , .

Найдем уравнение нормали:

, , .

Ответ: , .

5. Составить уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке .

Решение:

Дифференцируем уравнение эллипса по х, рассматривая у как функцию от х:

, , откуда .

Найдем угловые коэффициенты касательной и Тема III. Производная функции и ее приложения нормали в точке :

.

.

Уравнение касательной имеет вид:

, , .

Уравнение нормали:

, , .

Ответ: , .

6. Вычислить острые углы, образуемые при скрещении парабол и .

Решение:

Найдем точки скрещения парабол. Для этого решим систему уравнений:

Параболы пересекаются в точках О (0;0) и А (1;2).

Угол меж 2-мя пересекающимися параболами найдем как угол меж касательными к ним, проведенным в точке скрещения Тема III. Производная функции и ее приложения. Вычислим угловые коэффициенты касательных к параболам в точках их скрещения. В точке (0;0) касательными к параболам служат оси ОХ и ОУ, как следует в этой точке параболы пересекаются под прямым углом.

Для вычисления коэффициента касательной к параболе в точке А запишем ее уравнение в виде :

, .

Вычислим угловой Тема III. Производная функции и ее приложения коэффициент касательной к параболе в точке А, записав ее уравнение в виде :

, .

Найдем угол меж касательными, зная их угловые коэффициенты и :

; .

7. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением . В какой момент времени скорость движения тела окажется равной 0?

Решение:

Скорость движения тела есть 1-ая производная от пути по времени:

.

Полагая , получим:

, , , .

Таким макаром, скорость Тема III. Производная функции и ее приложения тела равна 0 в конце 2 и 4 секунды.

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмической производной функции именуется производная от логарифма этой функции, т.е.

.

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций именуют логарифмическим дифференцированием.

Пример. Отыскать производную функции .

Решение:

Логарифмируя данную функцию, получаем:

,

.

Дифференцируем обе части равенства по х:

.

Отсюда .

Дальше .

Совсем имеем:

.

Ответ: .

Производная Тема III. Производная функции и ее приложения второго порядка

Производной второго порядка либо 2-ой производной именуется производная от ее первой производной, т.е. .

Обозначается 2-ая производная одним из последующих знаков: , , .

Пример. Отыскать производную второго порядка функции .

Решение:

Имеем:

Ответ:

Дифференциал функции

Дифференциалом первого порядка функции именуется основная часть ее приращения, линейно зависящая от приращения независящей переменной х.

Дифференциал функции Тема III. Производная функции и ее приложения равен произведению ее производной на дифференциал независящей переменной:

.

Пример. Отыскать дифференциал функции .

Решение:

Находим производную данной функции:

,

.

Тогда .

Ответ: .

Задание 3.

3.1 Отыскать первую производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;
tema-grafika-kak-razdel-lingvistiki.html
tema-grazhdansko-patrioticheskoe-vospitanie-detej-starshego-doshkolnogo-vozrasta-v-ramkah-mesyachnika-voenno-patrioticheskoj-i-oboronno-massovoj-raboti.html
tema-grazhdanskoe-pravo.html